Las matemáticas son el lenguaje del mundo físico, y Alex Townsend ve patrones matemáticos en todas partes: en el clima, en la forma en que viajan las ondas sonoras e incluso en las manchas o rayas que desarrolla el pez cebra en los embriones.

«Desde que Newton escribió cálculo, hemos derivado ecuaciones de cálculo, llamadas ecuaciones diferenciales, para modelar fenómenos físicos», dijo Townsend, profesor asociado de matemáticas en la Facultad de Artes y Ciencias.

Esta forma de derivar leyes de cálculo funciona, dijo Townsend, si ya conoces la física del sistema. Pero, ¿qué pasa con el aprendizaje de sistemas físicos cuya física sigue siendo desconocida?

En el nuevo y creciente campo del aprendizaje de ecuaciones diferenciales parciales (PDE), los matemáticos recopilan datos de sistemas naturales y luego utilizan redes neuronales informáticas entrenadas para intentar derivar ecuaciones matemáticas subyacentes. En un nuevo artículo, Townsend, junto con los coautores Nicolas Boullé de la Universidad de Oxford y Christopher Earls, profesor de ingeniería civil y ambiental en la Facultad de Ingeniería, avanza en el aprendizaje de PDE con una nueva red neuronal «racional», su Knowledge in una forma que los matemáticos pueden entender: a través de las funciones de Green – un inverso derecho de una ecuación diferencial en cálculo.

Esta asociación máquina-humano es un paso hacia el día en que el aprendizaje profundo mejorará el estudio científico de los fenómenos naturales, como los sistemas meteorológicos, el cambio climático, la dinámica de fluidos, la genética y más. «Descubrimiento basado en datos de las funciones de Green con aprendizaje profundo comprensible por humanos» se publicó en Informes científicos, naturaleza el 22 de marzo.

Las redes neuronales, un subconjunto del aprendizaje automático, están inspiradas en el mecanismo simple del cerebro animal de las neuronas y las sinapsis: entradas y salidas, dijo Townsend. Las neuronas, llamadas «funciones de activación» en el contexto de las redes neuronales computacionales, recopilan información de otras neuronas. Entre las neuronas hay sinapsis llamadas pesos que envían señales a la siguiente neurona.

«Al conectar estas funciones de activación y pesos, puede crear mapas muy complicados que conducen las entradas a las salidas, al igual que el cerebro puede tomar una señal del ojo y convertirla en una idea», dijo Townsend. «Específicamente aquí estamos observando un sistema, un PDE, y tratando de hacer que calcule el patrón de operación de Green, lo que predeciría lo que estamos observando».

Los matemáticos han estado trabajando con las funciones de Green durante casi 200 años, dijo Townsend, quien es un experto en ellas. Por lo general, utiliza la función de Green para resolver rápidamente una ecuación diferencial. Earls propuso usar las funciones de Green para comprender una ecuación diferencial en lugar de resolverla, una inversa.

Para hacer esto, los investigadores crearon una red neuronal racional personalizada en la que las funciones de activación son más complicadas pero pueden capturar el comportamiento físico extremo de las funciones de Green. Townsend y Boullé presentaron redes neuronales racionales en un estudio separado en 2021.

«Al igual que las neuronas en el cerebro, hay diferentes tipos de neuronas de diferentes partes del cerebro. No todas son iguales», dijo Townsend. «En una red neuronal, esto corresponde a la selección de la función de activación: la entrada».

Las redes neuronales racionales son potencialmente más flexibles que las redes neuronales estándar porque los investigadores pueden elegir diferentes entradas.

«Una de las ideas matemáticas importantes aquí es que podemos cambiar esta función de activación en algo que realmente pueda capturar lo que esperamos de la función de Green», dijo Townsend. “La máquina aprende la función verde para un sistema natural. No sabe lo que significa, no puede interpretarlo. Pero los humanos podemos ver la función de Green ahora porque hemos aprendido algo que podemos entender matemáticamente. «

Cada sistema tiene una física diferente, dijo Townsend. Está entusiasmado con esta investigación porque toma su experiencia en las funciones de Green en una dirección moderna con nuevas aplicaciones.

La investigación para este artículo se llevó a cabo en el Centro de Matemáticas Aplicadas de Cornell y recibió el apoyo de la Fundación Nacional de Ciencias (NSF) a través del Premio de Desarrollo de Carrera Temprana NSF de Townsend. El apoyo también provino del programa de Biomatemáticas de la Oficina de Investigación del Ejército y del Centro de Capacitación Doctoral en Modelado Matemático Industrial del Consejo de Investigación de Ingeniería y Ciencias Físicas del Reino Unido en colaboración con el Laboratorio de Investigación Simula.

fuente de la historia:

Materiales proporcionados por Universidad de Cornell. Escrito originalmente por Kate Blackwood, cortesía de Cornell Chronicle. Nota: El contenido se puede editar por estilo y longitud.

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